マルコフの不等式

確率変数 $X$ について、 $$ P(|X| \leq c) \leq \frac{E[|X|]}{c} $$ が成り立ち、これをマルコフの不等式と呼びます。

証明

$X$ の値の範囲を条件に持つような2種類の定義関数を導入します。 $$ I(|X| \geq c) = \begin{equation*} \begin{cases} 1~~(|X| \geq c) \\ 0~~(|X| < c) \\ \end{cases} \end{equation*} $$ $$ I(|X| < c) = \begin{equation*} \begin{cases} 1~~(|X| < c) \\ 0~~(|X| \geq c) \\ \end{cases} \end{equation*} $$ これらは互いに排他的な関係性にあるため、同時に $1$ にはならず $$ I(|X| \geq c) + I(|X| < c) = 1 $$ の関係式となります。これを用いて $$ \begin{aligned} E[|X|] &= E[|X| \left(I(|X| \geq c) + I(|X| < c) \right)] \\ &\geq E[|X| I(|X| \geq c)] \\ &\geq c \cdot E[I(|X| \geq c)] \\ &= c \cdot P(|X| \geq c) \\ \therefore \frac{E[|X|]}{c} &\geq \cdot P(|X| \geq c) \\ \end{aligned} $$

チェビシェフの不等式

マルコフの不等式において $$ X \to (X-\mu)^2,~~ c \to k^2 $$ の置き換えを行うと、以下の不等式が成り立ちます。 $$ P(|X-\mu| \leq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} $$

直感的なイメージ

マルコフの不等式、チェビシェフの不等式の直感的なイメージについて調べてみたいと思います。マルコフの不等式は $$ P(|X| \leq c) \leq \frac{E[|X|]}{c} $$ であり、左辺は確率変数がある値（しきい値）$c$ を超える確率を意味していて、その確率に上限をつけることができるというものです。

例

ある銀行に預けている預金の平均残高が10万円だとします。今、預金残高が100万円以上の人がどのくらいいるかを知りたいとします。 マルコフの不等式を使うと、次のように計算できます。 $$ P(|X| \leq 100) \leq \frac{E[|X|]}{100} = \frac{10}{100} = 0.1 $$ したがって、預金残高が100万円以上の人は最大でも10％ しかいないことがわかります。この「最大でも」というのがミソであり、実際はこの街には100万円以上の預金を持っている人はゼロかもしれませんし、0.1% はいるかもしれません。具体的な確率はわからないものの、上限値を設定できるというのがマルコフの不等式です¹。

もう少し踏み込んで

先程の例は具体的な数値を用いた計算でしたが、少し抽象化すると次のように理解できます。とある確率分布に従う確率変数 $X$ に対して、元の確率分布の性質は全くわからないが、期待値 $E[X]$ だけ分かっているものとします。この場合に、確率変数 $X$ が期待値の10倍の大きさを持つ値となる確率は $$ P(|X| \leq 10\cdot E[X]) \leq \frac{E[|X|]}{10 \cdot E[X]} = 0.1 $$ となることが分かり、期待値から大きくハズレた値を取る確率は小さくなってくる、という直感的なイメージと合う結論が導けます。